Нестрашная общая теория относительности

[apximhd]

Благодаря многим авторам-популяризаторам, считающим, что книжка обречена на провал, если в ней будет хотя бы одна формула, у многих сложилось мнение, что теория относительности, а особенно общая теория относительности — это что-то запредельно сложное, доступное только избранным.

Недавно в ЖЖ у Сергея Щеглова зашёл разговор о скорости течения времени на искусственных спутниках Земли, который складывается из двух конкурирующих эффектов — эффекта специальной теории относительности: часы отстают, поскольку движутся относительно наземного наблюдателя, и эффекта общей теории относительности: часы спешат, поскольку находятся в области более слабого гравитационного поля.
На самом деле в общей теории относительности это один и тот же эффект — эффект искривлённого пространства времени, описываемого, например, метрикой Шварцшильда:

Оно совсем не страшное. Первое слагаемое описывает вклад в интервал гравитационного поля, второе — суммарный вклад движения вдоль радиуса и изменения гравитационного поля, а третье — вклад движения «поперёк» гравитационного поля, то, что обычно называют эффектом специальной теории относительности.
Давайте теперь подсчитаем длину геодезической для спутника и для неподвижного наблюдателя. Поскольку интервал является инвариантом преобразования системы отсчёта, то нам всё равно, в какой системе считать. Проще это сделать в системе отсчёта бесконечно удалённого неподвижного наблюдателя. Землю пока для простоты будем считать идеальным однородным невращающимся шаром, лишённым гор и атмосферы. (Есть ещё один «тонкий» момент: r в выражении для интервала в метрике Шварцшильда — это не совсем радиус-вектор, но гравитационное поле у нас слабое, и мы эту тонкость пока оставим за скобками.)
Подсчитаем интервалы за один оборот спутника. Пусть у нас с=299792458 м/с — скорость света, G = 6.67∙10^-11 м³с^-2кг^-1— гравитационная постоянная, M = 5,97∙10²⁴ кг — масса Земли, r = 6,380∙10⁶ м — радиус Земли, и h — высота полёта спутника над уровнем моря. Численные значения подставим позже.
Для начала упростим уравнение, выкинув лишние члены. Пусть спутник у нас движется по круговой орбите, тогда его расстояние до центра Земли не меняется, и второй член будет равен нулю. Пусть также спутник движется в экваториальной плоскости — тогда из третьего члена у нас уйдёт зависимость от широты, и уравнение примет следующий вид:

В системе неподвижного наблюдателя дифференциал интервала (поскольку угол не меняется, и его дифференциал равен нулю) будет равен:

Время течёт равномерно, следовательно интервал будет просто:
.
Подставив сюда выражения для периода спутника на круговой орбите , получим окончательную формулу:

Теперь подсчитаем интервал для спутника. Для него:
.
Подставляя в эту формулу явное выражение для зависимости φ от времени — и скорость спутника на круговой орбите — , получаем:

Переменные разделены, время течёт равномерно, поэтому:

После подстановки выражения для периода спутника на круговой орбите — — получим:

Спутник:

Запишем рядом, чтобы было удобно сравнивать, выражение для интервала неподвижного наблюдателя:

Подставив все вышеперечисленные численные значения, получим, что за один оборот спутника вокруг Земли при высоте орбиты h = 0 интервалы составят:
У спутника: s = 1.521183150926∙10¹² м,
У земного наблюдателя: s = 1.521183151455∙10¹² м.
Разность интервалов: -529 м, что означает, что часы на спутнике за один виток отстанут на 1,76 мкс, а за сутки — на 30 мкс.
Очевидно, что чем выше находится орбита спутника, тем медленнее он движется, что уменьшает отставание его часов, а уменьшение модуля гравитационного потенциала приводит к тому, что часы на спутнике начинают спешить. На какой-то высоте эти два эффекта сравняются, и часы на спутнике будут идти с той же скоростью, что и на Земле. На более высоких орбитах часы на спутнике будут уже спешить по сравнению с земными.
Чтобы найти высоту орбиты, на которой часы на спутнике и на Земле идут одинаково, приравняем оба интервала и решим получившееся уравнение: оба интервала становятся равными при h = R/2, что соответствует высоте орбиты 3190 км. Ниже этой орбиты часы на спутнике будут отставать, выше — спешить.
Например, часы на спутниках GPS, высота орбит которых составляет около 20200 км, спешат относительно земных часов на 38,4 мкс за сутки.

Comments

[al-pas.livejournal.com]

«Большинство предложений и вопросов, трактуемых как философские, не ложны, а бессмысленны… Философия не является одной из наук… Философия не учение, а деятельность». — Людвиг Витгенштейн.

[kauri-39.livejournal.com]

Согласен с тем, что "философия не учение, а деятельность". Результатом этой деятельности может быть философская теория, например, учение о мире и Боге. Такая деятельность очень востребована в наше время, когда разные отрасли науки всё дальше расходятся друг от друга, когда представляющим их специалистам всё труднее понять друг друга, и они утрачивают возможность по отдельности создавать единую для всех картину мира. Во времена процитированного философа данная проблема не была такой острой.