Физик vs. математик

[apximhd]

Недавно я наблюдал, как студенты подходят к решению одной простой задачи, предлагаемой в курсе астрофизики. Требуется оценить время коллапса межзвездного пылевого облака массы M и радиуса R в предположении, что облако достаточно разреженное, момент количества движения равен нулю, и коллапс происходит только под действием самогравитации и сферически симметрично.
Оказывается, студенты-физики и студенты-математики совершенно по-разному подходят к решению.

Как решает эту задачу математик?
Он берет пробную частицу на внешней границе облака и, используя факт сферической симметрии, пишет уравнение её движения:

Где M — масса облака. Затем он принимается решать получившееся уравнение.

Пусть первоначальный радиус облака — R. Из условия V(R) = 0 следует, что: C₁ = –C₀/R.
Теперь уравнение приобретает следующий вид:

Время падения пробной частицы можно выразить интегралом:

Теперь сделаем подстановку:

Тогда:

Что делает физик?
Он тоже обращает внимание на сферическую симметрию задачи и понимает, что она эквивалентна задаче вычисления времени падения пробной частицы на точечную массу. «Ага! — говорит он. — А ведь это не что иное, как классическая задача двух тел!» После этого физик вспоминает третий закон Кеплера, из которого следует, что орбитальные периоды двух тел равны, если равны большие полуоси их орбит. А что такое падение тела на точечную массу, как не вырожденная кеплеровская орбита с эксцентриситетом 1?

Тогда время падения будет равно половине орбитального периода. А орбитальный период у такого тела будет таким же, как орбитальный период тела, находящегося на круговой орбите половинного радиуса. Ему остается вычислить этот орбитальный период:

Время падения равно половине периода, откуда:

Comments

[waspagv.livejournal.com]

Как знакомо!

Я эту задачу немного в другой формулировке - найти время падения Земли на Солнце, если остановить орбитальное движение - каждый год решаю со школьниками. И первая мысль у них - записать закон сохранения энергии, что приводит к написанному у вас дифференциальному уравнению. И тут школьники расстраиваются, потому что решать дифференциальные уравнения они не умеют.

Затем я намекаю на то, что движение по прямой тоже подчиняется законам Кеплера. И решение получается мгновенно.

Наконец, я спрашиваю, почему задача, приводящяя к дифференциальному уравнению, легко решается без него. За 4 года только один ученик догадался: потому что дифференциальное уранение решил за нас Ньютон, который вывел таким образом законы Кеплера из закона всемирного тяготения.

[al-pas.livejournal.com]

Тогда предложите им ещё одну задачу: от южного полюса Земли до северного прорыт туннель В него бросают камень. Сопротивлением воздуха пренебречь, Землю считать однородным шаром. За какое время камень пролетит сквозь туннель? Здесь работает уже другое, я бы сказал, что даже более универсальное уравнение, которое для нас решил современник и конкурент Ньютона.

[waspagv.livejournal.com]

Конечно, мы ее решали. :) Там гармонические колебания получаются, а уравнение аналогичное закону Гука. Кстати, уравнение гармонических колебаний - единственное дифференциальное уравнение в школьной программе, причем в курсе физики, а не математики. Его решение при этом только лишь подбирается.

Задача упоминается в "Занимательной физике" Перельмана, где дается ответ, а за решением читателя отсылают к древней статье (http://sheba.spb.ru/shkola/matematika-vshkole-1936-03.djvu).

[2born.livejournal.com]

Оба красивы)))